Gaussin ja paraabelin avulla tutkitaan kokeellisen lampun LED -valovirtoja: 6 vaihetta

2024 Kirjoittaja: John Day | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-30 08:59

Hei kaikille valmistajille ja Instructablen vilkkaalle yhteisölle.

Tällä kertaa Merenel Research tuo sinulle puhtaan tutkimusongelman ja tavan ratkaista se matematiikalla.

Itselläni oli tämä ongelma laskiessani rakentamani (ja opetan rakentamaan) RGB -LED -lampun LED -valoja. Kun etsin laajasti verkosta, en löytänyt vastausta, joten julkaisen ratkaisun täällä.

ONGELMA

Hyvin usein fysiikassa meidän on käsiteltävä käyrät, joilla on Gaussin jakauman muoto. Joo! Se on kellon muotoinen käyrä, jota käytetään todennäköisyyden laskemiseen ja joka saatiin meille suurelta matemaatikolta Gaussilta.

Gauss -käyrää käytetään laajalti tosielämän fyysisissä sovelluksissa, varsinkin kun joudumme käsittelemään lähteestä etenevää tai vastaanottimesta vastaanotettua säteilyä, esimerkiksi:

- radiosignaalin (esim. Wi-Fi) tehon lähettäminen

- LED -valon lähettämä valovirta;

- fotodiodin lukeminen.

Valmistajan tiedotteessa meille annetaan usein Gaussin alueen todellinen arvo, joka olisi säteilyn kokonaisteho tai valovirta tietyssä spektrin osassa (esim. LED), mutta todellisen säteilyn laskeminen on vaikeaa lähetetään käyrän huipulla tai jopa vaikeampaa tietää kahden läheisen lähteen päällekkäistä säteilyä, esimerkiksi jos valaisimme enemmän kuin LED -valolla (esim. sininen ja vihreä).

Tässä ohjeessa selitän sinulle, kuinka lähentää Gaussin käyrää helpommin ymmärrettävällä käyrällä: paraabeli. Vastaan kysymykseen: kuinka monta Gaussin käyrää on paraboolissa?

SPOILER → VASTAUS ON:

Gaussin alue on aina 1 yksikkö.

Vastaavan, saman pohjan ja korkeuden omaavan paraabelin pinta -ala on 2,13 kertaa suurempi kuin suhteellinen Gaussin alue (katso kuva graafisesta esityksestä).

Joten Gaussin on 46,94% sen paraabelista ja tämä suhde on aina totta.

Nämä kaksi lukua liittyvät tällä tavalla 0,46948 = 1/2,13, tämä on tiukka matemaattinen suhde Gaussin käyrän ja sen paraabelin välillä ja päinvastoin.

Tässä oppaassa johdan sinut selvittämään tämän vaihe vaiheelta.

Ainoa väline, jota tarvitsemme, on Geogebra.org, loistava online -matemaattinen työkalu kaavioiden piirtämiseen.

Geogebra -kaavio, jonka tein vertaamaan paraboliaa Gaussiin, löytyy tästä linkistä.

Tämä ohje on pitkä, koska se koskee esittelyä, mutta jos sinun on nopeasti selvitettävä sama ongelma, joka minulla oli LED -valovirtojen kanssa, tai muu ilmiö, jossa Gaussin käyrät olivat päällekkäisiä, siirry vain laskentataulukkoon, jonka löydät liitteenä vaiheessa Tämän oppaan 5, joka helpottaa elämääsi ja tekee automaattisesti kaikki laskelmat puolestasi.

Toivottavasti pidät sovelletusta matematiikasta, koska tämä opettavainen on siitä.

Vaihe 1: Yksivärisen LED -valon lähettämän valon ymmärtäminen

Tässä analyysissa tarkastelen sarjaa värillisiä LED -valoja, kuten näet selvästi niiden spektrikaaviosta (ensimmäinen kuva), niiden spektrinen tehonjako näyttää todella Gaussilta, joka yhtyy x -akseliin -33 ja +33 nm keskiarvosta (valmistajat yleensä antaa tämän spec). Ota kuitenkin huomioon, että tämän kaavion esitys normalisoi kaikki spektrit yhdellä tehoyksiköllä, mutta LED -valojen teho on erilainen sen mukaan, kuinka tehokkaasti ne on valmistettu ja kuinka paljon sähköä (mA) syötät niihin.

Kuten näet, joskus kahden LED -valon päällekkäisyys spektrissä on päällekkäistä. Sanotaan, että haluan helposti laskea näiden käyrien päällekkäisen alueen, koska tällä alueella on kaksinkertainen määrä valtaa ja haluan tietää, kuinka paljon valoa luumenissa (lm) meillä on siellä, no, se ei ole helppo tehtävä, johon yritämme vastata tässä oppaassa. Ongelma syntyi, koska kun rakensin koelamppua, halusin todella tietää, kuinka paljon sininen ja vihreä spektri olivat päällekkäisiä.

Keskitymme vain yksivärisiin LEDeihin, jotka säteilevät kapeaa spektriä. Kaaviossa: KUNINGASININEN, SININEN, VIHREÄ, ORANSSINPUNAINEN, PUNAINEN. (Itse rakentamani lamppu on RGB)

FYSIIKAN TAUSTA

Kelataan hieman taaksepäin ja selitetään aluksi hieman fysiikkaa.

Jokaisella LEDillä on väri, tai tieteellisemmin sanoisimme, että sen aallonpituus (λ) määrittää sen ja joka mitataan nanometreinä (nm) ja λ = 1/f, missä f on fotonin värähtelytaajuus.

Joten mitä kutsumme PUNAISEKSI, on pohjimmiltaan (suuri) joukko fotoneja, jotka värähtelevät 630 nm: n nopeudella, nuo fotonit osuvat aineeseen ja pomppivat silmissämme, jotka toimivat reseptoreina ja sitten aivosi käsittelevät kohteen värin PUNAISENA; tai fotonit voivat mennä suoraan silmiin ja näet niiden lähettävän LED -valon hehkuvan PUNAISESSA värissä.

Havaittiin, että valo, jota kutsumme, on itse asiassa vain pieni osa sähkömagneettisesta spektristä, 380–740 nm; joten valo on sähkömagneettinen aalto. Spektrin tästä osasta on uteliasta, että juuri spektrin osa kulkee helpommin veden läpi. Arvaa mitä? Muinaiset esi -isämme alkukesästä olivat todellisuudessa vedessä ja juuri siinä vedessä, missä ensimmäiset, monimutkaisemmat elävät olennot alkoivat kehittää silmiään. Ehdotan, että katsot liittämäni Kurzgesagtin videon, jotta ymmärrät paremmin, mikä on valo.

Yhteenvetona voidaan todeta, että LED lähettää valoa, joka on tietty määrä radiometristä tehoa (mW) tietyllä aallonpituudella (nm).

Yleensä kun puhumme näkyvästä valosta, emme puhu radiometrisestä tehosta (mW) vaan valovirrasta (lm), joka on mittayksikkö, joka punnitaan vastauksena ihmisten silmien näkyvään valoon, se johtuu candelan mittayksikkö, ja se mitataan lumenina (lm). Tässä esityksessä tarkastelemme lumenien lähettämiä LED -valoja, mutta kaikki koskee mW: tä täsmälleen samassa määrin.

Valmistaja antaa sinulle minkä tahansa LED -tietolomakkeen tiedot:

Esimerkiksi tästä liitteestä näet, että jos käytät molempia johtoja 100 mA: lla, sinulla on tämä:

SININEN on 480 nm ja sen valovirta on 11 lm;

VIHREÄ on 530 nm ja sen valovirta on 35 lm.

Tämä tarkoittaa, että Gaussin sininen käyrä on korkeampi, se nousee enemmän muuttamatta sen leveyttä ja värähtelee sinisen viivan rajaaman osan ympärillä. Tässä artikkelissa selitän, kuinka lasketaan Gaussin korkeus, joka ilmaisee LEDin lähettämän täyden huipputehon, ei vain tuon spektrin osan lähettämän tehon, valitettavasti tämä arvo on pienempi. Lisäksi yritän lähentää kahden LEDin päällekkäistä osaa ymmärtääkseni, kuinka paljon valovirtaa on päällekkäin, kun kyseessä ovat spektrin "naapurit".

LEDien valon mittaaminen on erittäin monimutkainen asia, jos haluat tietää enemmän, olen ladannut Osramilta yksityiskohtaisen paperin, jossa kerrotaan, miten asiat tehdään.

Vaihe 2: Johdatus parabolaan

En mene paljoa yksityiskohtiin siitä, mikä on parabola, koska sitä tutkitaan laajasti koulussa.

Paraabelin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

y = kirves^2+bx+c

ARCHIMEDES auttaa meitä

Haluan alleviivata Arkhimedesin tärkeän geometrisen lauseen. Lause sanoo, että suorakulmioon rajoitettu paraabelin pinta -ala on 2/3 suorakulmion pinta -alasta. Ensimmäisessä paraabelin kuvassa näkyy, että sininen alue on 2/3 ja vaaleanpunaiset alueet ovat 1/3 suorakulmion pinta -alasta.

Voimme laskea paraabelin ja sen yhtälön tietäen kolme paraabelin pistettä. Meidän tapauksessamme laskemme kärkipisteen ja tiedämme leikkauspisteet x -akselin kanssa.

SININEN LED -kärki (480,?) Y -piste Y on yhtä suuri kuin huippuaallonpituudella lähetetty valoteho. Sen laskemiseksi käytämme Gaussin alueen (todellinen LED: n lähettämä virtaus) ja paraabelin alueen välistä suhdetta, ja käytämme Archimedesin teoriaa tietääksemme kyseisen paraabelin sisältävän suorakulmion korkeuden.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLINEN MALLI

Katsoessani lataamaani kuvaa näet monimutkaisen mallin, joka edustaa paraboleilla useita erilaisia LED -valovirtoja, mutta tiedämme, että niiden esitys ei ole aivan sellainen, koska se muistuttaa enemmän gaussia.

Kuitenkin paraboleilla voimme matemaattisten kaavojen avulla löytää useiden parabolan leikkauspisteen ja laskea leikkaavat alueet.

Vaiheessa 5 olen liittänyt laskentataulukon, johon olen laittanut kaikki kaavat yksiväristen LED -valojen kaikkien parabolien ja niiden leikkaavien alueiden laskemiseksi.

Yleensä LEDin Gaussin kantta on suuri 66 nm, joten jos tiedämme hallitsevan aallonpituuden ja lähentämme LED-säteilyn paraabelilla, tiedämme, että suhteellinen parabooli leikkaa x-akselin kohdissa λ+33 ja λ-33.

Tämä on malli, joka vastaa likimääräistä LED -valoa emittoivalla valolla paraabelin kanssa. Mutta tiedämme, että jos haluamme olla tarkkoja, se ei ole aivan oikein, meidän on käytettävä Gauss -käyrää, mikä vie meidät seuraavaan vaiheeseen.

Vaihe 3: Johdanto Gaussin käyrään

Gaussin se on käyrä, joka kuulostaa monimutkaisemmalta kuin paraabeli. Gauss keksi sen tulkitsemaan virheitä. Itse asiassa tällä käyrällä on erittäin hyödyllistä nähdä ilmiön todennäköisyysjakauma. Sikäli kuin siirrymme vasemmalta tai oikealle keskiarvosta, meillä on tietty ilmiö harvemmin, ja kuten viimeisestä kuvasta voi nähdä, tämä käyrä on erittäin hyvä arvio todellisista tapahtumista.

Gaussin kaava on pelottava, jonka näet toisena kuvana.

Gaussin kiinteistöjä ovat:

- se on symmetrinen suhteessa keskiarvoon;

- x = μ ei ainoastaan vastaa aritmeettista keskiarvoa, vaan myös mediaania ja tilaa;

- se on oireeton x -akselilla joka puolella;

- se pienenee xμ: lle;

- sillä on kaksi taivutuspistettä x = μ-σ;

- käyrän alla oleva alue on 1 yksikkö (mikä on todennäköisyys, että mikä tahansa x vahvistaisi)

σ on keskihajonta, mitä suurempi luku, sitä laajempi Gaussin kanta on (ensimmäinen kuva). Jos arvo on 3σ -osassa, tietäisimme, että se todella siirtyy pois keskiarvosta ja on vähemmän todennäköistä, että se tapahtuu.

Meidän tapauksessamme LEDien kanssa tiedämme Gaussin alueen, joka on valmistajan tuoteselosteessa annettu valovirta tietyllä aallonpituushuipulla (mikä on keskiarvo).

Vaihe 4: Esittely geogebraa käyttäen

Tässä osassa kerron sinulle, kuinka voit käyttää Geogebraa osoittamaan, että parabooli on 2,19 kertaa sen Gauss -arvo.

Ensin sinun on luotava pari muuttujaa napsauttamalla liukusäätimen komentoa:

Keskihajonta σ = 0,1 (keskihajonta määrittää kuinka leveä Gauss -käyrä on, laitoin pienen arvon, koska halusin tehdä siitä kapean simuloimaan LED -spektrin tehonjakoa)

Keskiarvo on 0, joten Gaussian on rakennettu y -akselille, jolla on helpompi työskennellä.

Aktivoi toiminto -osa napsauttamalla pientä aalto -toimintoa; siellä napsauttamalla fx voit lisätä Gaussin kaavan ja näet, että ruudulle ilmestyy mukava korkea Gaussin käyrä.

Graafisesti näet missä käyrä yhtyy x-akselilla, minun tapauksessani X1 (-0,4; 0) ja X2 (+0,4; 0) ja missä kärki on V (0; 4).

Tämän kolmen pisteen avulla sinulla on tarpeeksi tietoa löytääksesi paraabelin yhtälön. Jos et halua laskea käsin, voit käyttää tätä verkkosivustoa tai laskentataulukkoa seuraavassa vaiheessa.

Käytä funktiokomentoa (fx) täyttämään juuri löytämäsi paraboolifunktio:

y = -25x^2 +4

Nyt meidän on ymmärrettävä, kuinka monta gaussia on paraabelissa.

Sinun on käytettävä funktiokomentoa ja lisättävä komento Integral (tai Integrale minun tapauksessani, koska käytin italialaista versiota). Ehdollinen integraali on matemaattinen operaatio, jonka avulla voimme laskea funktion alueen, joka on määritetty x -arvojen välille. Jos et muista mikä kiinteä integraali on, lue täältä.

a = integraali (f, -0,4, +0,4)

Tämä Geogebra -kaava ratkaisee määritetyn integraalin funktion f, Gaussin, välillä -0,4 ja +0,4. Koska olemme tekemisissä Gaussin kanssa, sen alue on 1.

Tee sama paraabelille ja huomaat taikuusluvun 2.13. Mikä on avainluku kaikkien valovirtamuunnosten tekemiseen LED -valojen avulla.

Vaihe 5: Esimerkki tosielämästä LEDien kanssa: Vuonhuipun ja päällekkäisten virtausten laskeminen

LUMINOUS FLUX HUIPULLA

LED -vuon jakauman sekoitettujen Gauss -käyrien todellisen korkeuden laskeminen nyt, kun olemme löytäneet muuntokerroimen 2.19, on erittäin helppoa.

esimerkiksi:

SINISESSÄ LEDissä on 11 lm valovirtaa

- muunnamme tämän vuon Gaussista paraboliseksi 11 x 2,19 = 24,09

- laskemme Archimedesin lauseen avulla suhteellisen suorakulmion alueen, joka sisältää paraabelin 24,09 x 3/2 = 36,14

- löydämme sen suorakulmion korkeuden, joka jakautuu Gaussin pohjalle SINISELLE LEDille, joka on annettu tietolomakkeessa tai näkyy taulukkotaulukossa, yleensä noin 66 nm, ja se on voimamme 480 nm: n huipulla: 36,14 / 66 = 0,55

LIIKUNTAVAT LUMINOUS FLUX -ALUEET

Kahden päällekkäisen säteilyn laskemiseksi selitän esimerkin seuraavilla kahdella LEDillä:

SININEN on 480 nm ja sen valovirta on 11 lm VIHREÄ on 530 nm ja sen valovirta on 35 lm

Tiedämme ja näemme kaaviosta, että molemmat Gaussin käyrät lähentyvät -33nm ja +33nm, joten tiedämme, että:

- SININEN leikkaa x -akselin 447 nm: ssä ja 531 nm: ssä

- VIHREÄ leikkaa x -akselin 497 nm: ssä ja 563 nm: ssä

Näemme selvästi, että kaksi käyrää leikkaavat, koska ensimmäisen kärjen toinen pää on toisen alun jälkeen (531nm> 497nm), joten näiden kahden LEDin valo on osittain päällekkäistä.

Meidän on ensin laskettava paraabeliyhtälö molemmille. Liitteenä oleva laskentataulukko auttaa sinua laskelmissa ja on upottanut kaavat, joilla ratkaistaan yhtälöjärjestelmä, joka määrittää kaksi parabolaa, jotka tuntevat x -akselin leikkaavat pisteet ja kärjen:

SININEN parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

VIHREÄ parabola: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

molemmissa tapauksissa a> 0 ja, joten parabola osoittaa oikein ylösalaisin.

Todistaaksesi, että nämä parabolat ovat oikeassa, täytä a, b, c kärkipalkkilaskijalla tällä parabola -laskimen verkkosivustolla.

Laskentataulukossa kaikki laskelmat on jo tehty etsimään parabolien väliset leikkauspisteet ja laskemaan tietty integraali näiden parabolien leikkaavien alueiden saamiseksi.

Minun tapauksessamme sinisen ja vihreän LED -spektrin leikkaavat alueet ovat 0,4247.

Kun meillä on leikkaavat parabolat, voimme kertoa tämän äskettäin perustetun leikkausalueen Gaussin kertoimelle 0.4694 ja löytää hyvin lähellä likimääräistä määrää siitä, kuinka paljon valoa LEDit lähettävät yhteensä kyseisellä spektrin osalla. Jos haluat löytää yksittäisen LED -valon, joka on lähetetty kyseisessä osassa, jaa se kahdella.

Vaihe 6: Kokeellisen lampun yksiväristen LEDien tutkimus on nyt valmis

Kiitos paljon tämän tutkimuksen lukemisesta. Toivon, että on hyödyllistä ymmärtää syvällisesti, kuinka lamppu lähettää valoa.

Tutkin kolmea yksiväristä LED -valoa käyttävän erikoislampun LED -valoja.

"Ainesosat" tämän lampun valmistamiseksi ovat:

- 3 LED -BLU -valoa

- 4 vihreää LED -valoa

- 3 LED PUNAISTA

- 3 vastusta, jotka rajoittavat virtaa LED -piirin haaroissa

- 12V 35W virtalähde

- Kohokuvioitu akryylikansi

- OSRAM OT BLE DIM -ohjaus (Bluetooth LED -ohjausyksikkö)

- Alumiininen jäähdytyselementti

- M5 lihavointi ja mutterit ja L -hakaset

Ohjaa kaikkea älypuhelimesi Casambi -sovelluksella, voit kytkeä päälle ja himmentää jokaisen LED -kanavan erikseen.

Lampun rakentaminen on hyvin yksinkertaista:

- kiinnitä LED jäähdytyselementtiin kaksipuolisella teipillä;

- juota kaikki BLU -LEDit sarjaan vastuksen kanssa ja tee sama toisen värin kanssa kullekin piirin haaralle. Valitsemiesi LEDien mukaan (käytin Lumileds LEDiä) sinun on valittava vastuksen koko suhteessa siihen, kuinka paljon virtaa syötetään LEDiin ja 12 V: n virtalähteen antamaan kokonaisjännitteeseen. Jos et tiedä miten tämä tehdään, suosittelen, että luet tämän suuren ohjeen siitä, kuinka määrittää vastuksen koko LED -valojen virran rajoittamiseksi.

-liitä johdot Osram OT BLE: n jokaiseen kanavaan: LED -valojen haarojen kaikki positiiviset asiat menevät yhteiseen (+) ja haaran kolme negatiivista -B (sininen) -G (vihreä)) -R (punainen).

- Kytke virtalähde Osram OT BLE -liitäntään.

Osram OT BLE -laitteessa on hienoa, että voit luoda skenaarioita ja ohjelmoida LED -kanavia, kuten näet videon ensimmäisessä osassa, että himmennän kolme kanavaa ja videon toisessa osassa käytän joitakin valmiita skenaarioita.

PÄÄTELMÄT

Olen käyttänyt laajasti matematiikkaa ymmärtääkseni syvästi, kuinka tämän lampun virtaukset leviäisivät.

Toivon todella, että olette oppineet jotain hyödyllistä tänään, ja aion parhaani mukaan tuoda opettavia lisää tapauksia syvällisestä soveltavasta tutkimuksesta, kuten tämä.

Tutkimus on avain!

Näkemiin!

Pietro